α+β>π/2是f(x)<2的什么条件

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 00:11:59
(1)证明在三角形ABC中，sinA>sinB
(2)已知α、β∈ （0，π/2），x>0，f(x)=(cosα/sinβ)^x+(cosβ/sinα)^x,试判断α+β>π/2是f(x)<2的什么条件？并证明你的结论。
第一小题是证明在锐角三角形ABC中，sinA>cosB

锐角三角形ABC,
则，A+B+C=π
C<π/2,所以A+B>π/2
即A>π/2-B,
同时A,B<π/2,
所以，sinA>sin(π/2-B)
即：sinA>cosB

当α+β>π/2，
则sinα>cosβ，cosα<sinβ

f(x)=(cosα/sinβ)^x+(cosβ/sinα)^x
因为x>0，
(cosα/sinβ)<1
(cosβ/sinα)<1
所以(cosα/sinβ)^x+(cosβ/sinα)^x<2

当f(x)=(cosα/sinβ)^x+(cosβ/sinα)^x<2

或者cosα/sinβ<1,cosβ/sinα<1
所以α+β>π/2，

当cosα/sinβ>1,cosβ/sinα<1
π/2-α>β,π/2-β<α
矛盾
所以α+β>π/2

所以α+β>π/2是f(x)<2的充要条件